Mucha jest wychowankiem Interu Bratysława. Do Legii trafił przed sezonem 2005/06, a miejsce w podstawowej jedenastce stołecznej drużyny wywalczył dwa lata później. Słowacki bramkarz w polskiej ekstraklasie rozegrał 95 spotkań.

Dzięki dobrej postawie jego osobą zainteresowały się zachodnie kluby. Wyścig po Muchę w 2010 roku wygrał angielski Everton, w którym przez trzy sezony  Słowak rozegrał tylko dwa spotkania w Premier League. Po wygaśnięciu umowy z zespołem z miasta Beatlesów przeniósł się do rosyjskiej Krylji Sowietow, z której na jakiś czas wypożyczony był do Arsenału Tuła.

W lipcu 2015 roku Mucha wrócił do kraju i reprezentował barwy Slovanu Bratyslawa, dla którego zagrał w 65 meczach, zachowując 26 czystych kont. Kilka dni temu klub poinformował, że za porozumieniem stron rozwiązał umowę z doświadczonym golkiperem. 34-latek na swoim koncie ma 44 mecze w reprezentacji, z którą zagrał m.in. na mistrzostwach świata w RPA w 2010, będąc jej podstawowym zawodnikiem.

Pozyskanie bramkarza jest jednym z priorytetów transferowych „żółto-czerwonego” klubu. W rundzie „wiosennej” pewne miejsce między słupkami miał Milan Borjan, a jego zmiennikiem był Michal Pesković. Obu graczy w Kielcach już nie ma, a trener bramkarzy Mirosław Dreszer w ostatnich dniach pracował tylko z Maciejem Gostomskim, który wrócił z wypożyczenia do Chojniczanki Chojnice oraz młodym Leonidem Otczenaszenką. Ten drugi ma trafić na wypożyczenie do klubu z pierwszej lub drugiej ligi. W niedzielę do Kielc na testy przyjechało dwóch niemieckich golkiperów: Zlatan Alomerović oraz Matthias Hamrol.